弹性应力

发布日期:2014-10-25 08:43
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厚壁容器:

应力:径向应力不能忽略,处于三向应力状态;应力仅是半径的函数。

位移:周向位移为零,只有径向位移和轴向位移。

应变:径向应变、轴向应变和周向应变

分析方法:8个未知数,只有2个平衡方程,属静不定问题,需平衡、几何、物理等方程联立求解。

研究在内压、外压作用下,厚壁圆筒中的应力。

有一两端封闭的厚壁圆筒(图2-15),受到内压和外压的作用,圆筒的内半径和外半径分别为Ri、Ro,任意点的半径为r。以轴线为z轴建立圆柱坐标。求解远离两端处筒壁中的三向应力。

 
一、压力载荷引起的弹性应力:
1、轴向(经向)应力

对两端封闭的圆筒,横截面在变形后仍保持平面。所以,假设轴向应力沿壁厚方向均匀分布,得:
2-25)
2、周向应力与径向应力

由于应力分布的不均匀性,进行应力分析时,必须从微元体着手,分析其应力和变形及它们之间的相互关系。

图 2-15 厚壁圆筒中的应力

 

a. 微元体

如图2-15(c)、(d)所示,由圆柱面mn、m1n1和纵截面mm1、nn1组成,微元在轴线方向的长度为1单位。

b. 平衡方程
得到:(2-26)

c. 几何方程 (位移-应变)

图2-16 厚壁圆筒中微元体的位移



径向应变:




周向应变:


 
 
(2-27)
 
变形协调方程:  
(2-28)
 


d. 物理方程(应变-应力)
(2-29)
e. 平衡、几何和物理方程综合—求解应力的微分方程(求解微分方程,积分,边界条件定常数)

将式(2-28)中的应变换成应力并整理得到:
 解该微分方程,可得径向应力的通解。

将径向应力再代入式(2-26)得周向应力。
     (2-33)

边界条件为:当时, ; 当 时,

由此得积分常数A和B为: 

 

周向应力:
径向应力: (2-34)
轴向应力:
式2-34称Lamè(拉美)公式。
表2-1 厚壁圆筒的筒壁应力值

表2-1 厚壁圆筒的筒壁应力值
 

(a) 仅受内压     (b) 仅受外压 
图 2-17 厚壁圆筒中各应力分量分布

从图2-17中可见,仅在内压作用下,筒壁中的应力分布规律:

①周向应力及轴向应力均为拉应力(正值),径向应力为压应力(负值)。

②在数值上有如下规律:内壁周向应力有最大值,其值为: 外壁处减至最小,其值为:

内外壁周向应力之差为Pi;径向应力内壁处为-Pi,随着r增加, 径向应力绝对值逐渐减小,在外壁处径向应力为0;

轴向应力为一常量,沿壁厚均匀分布,且为周向应力与径向应力和的一半,即

③除轴向应力外,其它应力沿壁厚的不均匀程度与径比K值有关。

以周向应力为例,外壁与内壁处的周向应力之比为:

K值愈大不均匀程度愈严重,当内壁材料开始出现屈服时,外壁材料则没有达到屈服,因此筒体材料强度不能得到充分的利用。

 

二、温度变化引起的弹性热应力
1、热应力概念

因温度变化引起的自由膨胀或收缩受到约束,在弹性体内所引起的应力,称为热应力。

 
单向约束: (2-35)
双向约束: (2-36)
三向约束: (2-37)
2、厚壁圆筒的热应力

厚壁圆筒中的热应力由平衡方程、几何方程和物理方程,结合边界条件求解。

当厚壁圆筒处于对称于中心轴且沿轴向不变的温度场时,稳态传热状态下,三向热应力的表达式为:
(详细推导见文献[11]附录)


筒体内外壁的温差,



厚壁圆筒各处的热应力见表2-2,表中:

厚壁圆筒中热应力分布如图2-20所示。

表2-2 厚壁圆筒中的热应力


图2-20 厚壁圆筒中的热应力分布
(a)内部加热 (b)外部加热

厚壁圆筒中热应力及其分布的规律为:

① 热应力大小与内外壁温差成正比;取决于壁厚,径比K值愈大值也愈大,表2-2中的值也愈大。

②热应力沿壁厚方向是变化的

3、内压与温差同时作用引起的弹性应力




具体计算公式见表2-3,分布情况见图2-21。

 
表2-3 厚壁圆筒在内压与温差作用下的总应力

图2-21 厚壁筒内的综合应力
(a)内加热情况;(b)外加热情况
由图可见

内加热——内壁应力叠加后得到改善,外壁应力有所恶化。

外加热——则相反,内壁应力恶化,外壁应力得到很大改善。

4、热应力的特点

a. 热应力随约束程度的增大而增大

b. 热应力与零外载相平衡,是自平衡应力(Self- balancing stress)

c. 热应力具有自限性,屈服流动或高温蠕变,可使热应力降低

d. 热应力在构件内是变化的
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